Векторный метод решения планиметрических и стереометрических задач

Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики».

Векторный метод является одним из современных методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии. Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес.

В школьном курсе математики тема «Векторы», а вместе с ней векторный метод, появилась относительно недавно, в начале 60-х гг. XX в. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, но, несмотря на простоту и эффективность векторного метода, векторный метод не стал одним из ведущих способов решения задач и доказательства теорем.

В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода 1) в планиметрии; 2) в стереометрии.

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема «Применение векторов к решению задач». В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и совре¬менных методов решения задач.

В методической литературе отмечается, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются в применении векторного метода к решению содержательных задач.

Цель исследования: разработать научно обоснованные методические рекомендации по обучению учащихся этому методу, разработать систему упражнений в курсах геометрии на плоскости и в пространстве.

Объект исследования: процесс изучения темы «Векторы» в VIII и X классах общеобразовательной школы.

Предмет исследования: методическая система обучения учащихся векторному методу решения задач.

Гипотеза исследования: если целенаправленно обучать школьников умениям и действиям, входящим в состав векторного метода, формулировать частные эвристики по решению отдельных типов задач, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы были решены следующие задачи:
- Проведен анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования с целью выявления условий успешного овладения школьниками векторного метода решения геометрических задач;
- Проведен анализ программных документов, школьных учебников по темам : «Векторы на плоскости» и «Векторы в пространстве»;
- Выявить теоретико-методическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации изучения векторного метода решения задач в школьном курсе геометрии;
- Разработаны системы упражнений по теме «Векторы» в школьных курсах планиметрии и стереометрии.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:
- изучения и анализа литературы по исследуемой проблеме;
- беседа с учителями математики в старших классах общеобразовательной школы.

Новизна исследования заключается в разработке системы упражнений по теме «Векторный метод» в школьных курсах планиметрии и стереометрии, в попытке провести классификацию задач стереометрии, решаемых векторным методом.
В процессе исследования, в соответствии с его целями и задачами, были получены следующие основные выводы и результаты:
1. Анализ учебно-методической литературы показал, что методика обучения школьников векторному методу очень широко обсуждается методистами, но, тем не менее, учащиеся до сих пор испытывают трудности в применении этого метода к решению задач и доказательству теорем. Между тем, векторные доказательства чаще оказываются предпочтительнее традиционных.
2. Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы показал, что для успешного овладения учащимися общего метода решения задач, необходимо обучать их умениям и действиям, входящим в состав этого метода. К умениям и действиям, составляющих суть векторного метода относят следующие:
- умение преобразовывать векторные выражения;
- умение переводить геометрическое свойство фигуры на векторный язык и обратно;
- умение выражать вектор через другие.

В соответствии с этими положениями разработаны методические рекомендации по обучению учащихся векторному методу решения геометрических задач на базе средней школы, сформулированы частные эвристики по решению отдельных типов задач темы.

С. Г. Покровская