Распределение количества унитарных делителей натурального числа в классах вычетов

Аннотация. В работе рассматривается распределение значений некоторой арифметической функции
в классах вычетов взаимно простых с модулем.
Ключевые слова: распределение значений функции, унитарный делитель, классы вычетов,
равномерное распределение.

Будем обозначать: a, b, d, m, n, k, r – натуральные числа; N – фиксированное натуральное число; x – действительное число, большее 1; (m, n) – наибольший общий делитель чисел m и n; G(N) – группа вычетов по модулю N , взаимно простых с модулем; φ (N) – порядок группы G(N); f(n) – целочисленная арифметическая функция; S(x, r, f) – количество чисел n ≤ x , для которых f(n) ≡ r (mod N); χ – характер Дирихле по модулю N, , – главный и действительный неглавный характеры Дирихле по модулю N; A(N, f) – множество всех натуральных чисел n, для которых (f (n), N) = 1; – количество унитарных делителей числа n.

Определение 1: Делитель d числа n называется унитарным, если (d, n/d) = 1.

Функция совпадает с функцией θ (n) – количеством бесквадратных делителей числа n. В таком качестве она рассматривалась в работе [1;797-799], в которой была получена асимптотика для среднего значения. В настоящей работе изучается её слабо равномерное распределение в классах вычетов по модулю N. Понятие слабо равномерного распределения было введено В. Наркевичем в 1967 году в работе [2;269-279].
Определение 2: Функция f(n) называется слабо равномерно распределённой по модулю N, если множество A(N, f) бесконечно и для любых вычетов a,b
∈ G(N) Определение 3: Число a называется первообразным корнем группы G(N), если группа порождается степенями числа a. При этом группа G(N) называется циклической.

Результатом нашей работы являются следующие теоремы.
Теорема 1: Функция слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда , q ≥ 3, k ≥ 1 и 2 – первообразный корень по модулю N.
Теорема 2: Если функция слабо равномерно распределена по модулю N, то для любого натурального числа n, любого вычета r ∈ G(N) и любого действительного числа x > 1 справедливо равенство где – постоянные, не зависящие только от указанных величин, константа в символе O не зависит от x, но может зависеть от n.

Теорема 1 доказывается на основании критериев, установленных В. Наркевичем в работе [2;269-279].
Остановимся коротко на идеях доказательства теоремы 2.
Опираясь на свойства ортогональности характеров Дирихле, сумму можно представить в виде
Обозначим последнюю сумму в правой части через S(x, χ). Это сумматорная функция для коэффициентов ряда Дирихле

Для получения равенства в теореме 2 нужно получить асимптотические формулы для S(x, χ) для каждого характера χ и подставить в равенство (1). Для получения асимптотической формулы для суммы коэффициентов применяют теоремы тауберова типа к рядам Дирихле. Мы будем применять тауберову теорему, доказанную Б. М. Широковым и Л. А. Громаковской в работе [3;31-44]. Ранее традиционно применялась теорема Х. Деланжа, которая меньше требовала от функции F(s, χ), но давала лишь главный член асимптотики.

Легко проверить, что функция F(s, χ), заданная как сумма этого ряда, регулярна в полуплоскости σ > 1. Для применения теоремы 1 работы [3;31-34] нам необходимы две вещи: найти аналитическое продолжение этой функции влево от прямой σ = 1 так, чтобы оно было определено в области Ω, определенной неравенствами , с некоторой положительной постоянной , и оценить порядок роста этого продолжения при .

Покажем кратко эту процедуру на сравнительно простом случае действительного неглавного характера . Заметим, что для любых p и k значение На основании теоремы 1 . Ряд (2) при σ > 1 сходится абсолютно, следовательно, по теореме Эйлера его сумма может быть представлена в виде Это произведение легко преобразуется к виду где ζ(s) – дзета-функция Римана. Первые два сомножителя образуют регулярную в области Ω функцию, имеющую нуль второго порядка в точке s = 1, а при с некоторой постоянной B > 0 оценивается в области Ω как O (ln (|t|+2)) (см. [4; 88]). Произведение же по p > 2 является регулярной и ограниченной при функцией. Таким образом, равенство (3) дает нам требуемое аналитическое продолжение функции в область Ω, удовлетворяющее теореме 1 работы [3;31-44] при z = ‒ 2. Из соответствующего пункта утверждения этой теоремы получаем с некоторой константой c > 0 Несколько сложнее, но таким же путём оценивается S(x, χ) для любого характера χ.

Список литературы

1.Gioia A. A.,Vaidya A. M. The number of squarefree divisors of an integer / A. A. Gioia , A. M. Vaidya. // Duke Mathematical Journal, 1966. V.33 No 4. P. 797 – 799.
2.Narckiewicz W. On distribution of values of multiplicative functions in residue classes / W. Narckiewicz. // Acta Arithm, 1967. V. 12 No 3. P. 269 – 279.
3.Shirokov B. M., Gromakovskaya L. A. Distribution of values of the sum of unitary divisors in residue classes / B. M. Shirokov, L. A. Gromakovskaya. // Проблемы анализа, 2016. Т. 5(23). No 1. P. 31 – 44.
4.Прахар К. Распределение простых чисел./ К. Прахар; Пер. с нем. А. А. Карацубы, Под ред. А. И. Виноградова – М.// Мир, 1967. P. 88.

Н. В. Шибеко