Проблема четырех красок

В середине Х1Х столетия возникло совершенно новое течение в геометрии, которому было суждено стать одной из главных движущих сил современной математики. Предметом новой отрасли, называемой топологией, является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические и проективные свойства.

Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики: алгебру, дифференциальную геометрию, вычислительную геометрию. Топология занимается изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях. Таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Примером может служить знаменитая "проблема четырех красок". Вплоть до XV века географические карты были, в основном, изображениями мира или частей света. Карты стран или даже отдельных местностей встречались крайне редко. Это и понятно, ведь в Средневековье мир делился скорее не на страны, а на провинции, регионы, герцогства. С ростом значения географических границ стали появляться и первые карты стран. Первые цветные карты - это Туринская карта XII в. до н.э., карта Черного моря III в. н.э., карта Семена Ремизова 1700 г., в которой разными цветами раскрашены ареалы сибирских племен и народов, и другие. Но в те времена цвета не использовались для разграничения политических образований, и только с XVI в. цвета стали использовать по-современному, для обозначения территорий.

С тех пор, как появились первые географические карты, наряду с вопросами их точности и достоверности встал и вопрос о том, как их лучше всего раскрашивать. С одной стороны, каждая отличная от прочих территория должна быть окрашена в свой цвет. С другой стороны, строгая функциональность не допускала кричащей пестроты. Да и типографские возможности тех времен были не так уж велики. В связи с этим, географы поставили перед математиками задачу, на первый взгляд казавшуюся довольно простой: каким минимальным количеством красок может быть раскрашена карта так, чтобы каждая из соприкасающихся на ней фигур имела свой цвет? Этой проблемой занимались многие известные ученые: К. Аппель, У. Хакен, Дж. Кох. В процессе работы ими выдвигалось множество теорий, многие из которых казались невероятными. В итоге к концу XIX века было доказано, что простейшая карта может быть раскрашена с применением трех, а сложнейшая - с применением пяти цветов.

Авторам настоящей работы рассмотрена теория применения четырех красок, основанная на утверждении о том, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Петрикова В.Ю.